СЕКЦИЯ
Цифровые образовательные практики
Совертков П.И.
РГПУ им. А.И.Герцена,
г. Санкт - Петербург
Визуализация аффинных преобразований в аффинной системе координат
В учебной литературе формулируются определения эллиптического, гиперболического и параболического поворотов и записываются формулы преобразований координат в терминах евклидовой плоскости, т.е. с использованием расстояний и углов. Но эти преобразования являются аффинными преобразованиями, поэтому их следует определять в терминах аффинной плоскости и все изображения траекторий должны иллюстрироваться в аффинной системе координат, что удобно с помощью компьютерного моделирования. В данной статье повороты определяются как преобразования одной пары сопряжённых направлений в другую пару сопряжённых направлений некоторой линии второго порядка и представлены траектории точек при поворотах с помощью компьютерного моделирования.
Sovertkov P.I.
Herzen University
St. Petersburg, Russia
Visualization of affine transformations in an affine coordinate system
In educational literature, definitions of elliptic, hyperbolic, and parabolic rotations are formulated, and formulas for coordinate transformations are written in terms of the Euclidean plane, i.e., using distances and angles. However, these transformations are affine transformations, so they should be defined in terms of the affine plane, and all trajectory illustrations should be shown in an affine coordinate system, which is convenient with computer modeling. In this article, rotations are defined as transformations of one pair of conjugate directions into another pair of conjugate directions of a certain second-order line, and the trajectories of points during rotations are presented using computer modeling.
Формулировка проблемы
В настоящее время снизился интерес студентов к восприятию абстрактных понятий. Понятия векторного и аффинного пространств начинают актуализироваться только после изучения аффинных преобразований. Конкретные действия, осуществляемые аффинными преобразованиями, привлекают на помощь некоторые операционные действия. На факультете математики и факультете информационных технологий РГПУ им. А.И. Герцена при изучении алгебры и геометрии расширен спектр конкретных аффинных преобразований с помощью изучения эллиптических, гиперболических и параболических поворотов. Эти преобразования позволяют моделировать изменение рисунка, построенного на компьютере, по своему желанию.
Стандартное определение этих поворотов является сложным, т.к. они используют композицию нескольких преобразований, причём, среди них есть поворот, что относится к евклидовой плоскости и является неестественным для аффинной плоскости. Рассмотрим эллиптический поворот.
Композиция сжатия плоскости к оси с коэффициентом , поворота вокруг начала координат на угол и сжатия к оси с коэффициентом называется эллиптическим поворотом вокруг точки на угол (рис. 1). Аналитическое задание эллиптического поворота , .
В настоящее время снизился интерес студентов к восприятию абстрактных понятий. Понятия векторного и аффинного пространств начинают актуализироваться только после изучения аффинных преобразований. Конкретные действия, осуществляемые аффинными преобразованиями, привлекают на помощь некоторые операционные действия. На факультете математики и факультете информационных технологий РГПУ им. А.И. Герцена при изучении алгебры и геометрии расширен спектр конкретных аффинных преобразований с помощью изучения эллиптических, гиперболических и параболических поворотов. Эти преобразования позволяют моделировать изменение рисунка, построенного на компьютере, по своему желанию.
Стандартное определение этих поворотов является сложным, т.к. они используют композицию нескольких преобразований, причём, среди них есть поворот, что относится к евклидовой плоскости и является неестественным для аффинной плоскости. Рассмотрим эллиптический поворот.
Композиция сжатия плоскости к оси с коэффициентом , поворота вокруг начала координат на угол и сжатия к оси с коэффициентом называется эллиптическим поворотом вокруг точки на угол (рис. 1). Аналитическое задание эллиптического поворота , .
На рис. 2 можно наблюдать траектории точек при эллиптическом повороте и изменение расстояний между точками и изменение величин углов.
Визуализация траекторий аффинных преобразований ставит две проблемы. Первая проблема – восприятие поворота как некоторого преобразования точек в целом и в этот момент не имеют значения составляющие определения поворота, т.е. сжатие, поворот и ещё раз сжатие. На рисунке нет этих составляющих поворота и если мы к каждой паре точек (до поворота одной точки и после поворота этой точки) будем применять тройку составляющих поворота, то значительно усложним рисунок.
Значит, эллиптический поворот желательно определить в терминах аффинной плоскости одним каким-то преобразованием.
Вторая проблема состоит в необходимости компьютерного моделирования эллиптического поворота, но это должно быть вторичным после формулировки эллиптического поворота. Следовательно, к аффинной системе координат придётся подстраивать декартову систему координат для построения рисунка на экране компьютера.
Решение задачи
Рассмотрим на плоскости аффинную систему координат (рис. 3) с репером . Для любой точки М плоскости из разложения находим её аффинные координаты и .
Множество точек где образует линию с параметрическими уравнениями
(1)
Исключая параметр t в (1), находим общее уравнение линии
(2)
Линию будем называть эллипсом, построенным на данных полудиаметрах
Визуализация траекторий аффинных преобразований ставит две проблемы. Первая проблема – восприятие поворота как некоторого преобразования точек в целом и в этот момент не имеют значения составляющие определения поворота, т.е. сжатие, поворот и ещё раз сжатие. На рисунке нет этих составляющих поворота и если мы к каждой паре точек (до поворота одной точки и после поворота этой точки) будем применять тройку составляющих поворота, то значительно усложним рисунок.
Значит, эллиптический поворот желательно определить в терминах аффинной плоскости одним каким-то преобразованием.
Вторая проблема состоит в необходимости компьютерного моделирования эллиптического поворота, но это должно быть вторичным после формулировки эллиптического поворота. Следовательно, к аффинной системе координат придётся подстраивать декартову систему координат для построения рисунка на экране компьютера.
Решение задачи
Рассмотрим на плоскости аффинную систему координат (рис. 3) с репером . Для любой точки М плоскости из разложения находим её аффинные координаты и .
Множество точек где образует линию с параметрическими уравнениями
(1)
Исключая параметр t в (1), находим общее уравнение линии
(2)
Линию будем называть эллипсом, построенным на данных полудиаметрах
Главные выводы.
Эллиптический, гиперболический и параболический повороты определены в терминах аффинной геометрии. Использование аффинных координат упростило аналитическое задание эллиптического, гиперболического и параболического поворотов в виде (3), (7)-(9). Разработано компьютерное моделирование аффинных преобразований, что позволяет визуально наблюдать траектории точек при поворотах.
Литература:
1. Делоне Б.Н., Д.А. Райков Аналитическая геометрия, Т.1, М..-Л., ГИТТЛ, 1948 .
2. Совертков П.И. Кадастровая геометрия земельного участка треугольной формы // Математика для школьников, 2025, № 4, с. 22-32.
3. Совертков П.И. Справочник по элементарной математике. СПб.: Лань, 2018.
4. Совертков П.И. Компьютерное моделирование. СПб.: Лань, 2023.
5. Степанова М.А. Барицентрическая система координат. Барицентрическая группа // Современные проблемы математики и математического образования; Герценовские чтения, 77. СПб, 2024, С. 356-360.
6. Cтепанова М.А. Некоторые подгруппы барицентрической группы. // Вестник Сыктывкарского университета, 2025, № 1(54), вып. 25, с. 4-17.
Эллиптический, гиперболический и параболический повороты определены в терминах аффинной геометрии. Использование аффинных координат упростило аналитическое задание эллиптического, гиперболического и параболического поворотов в виде (3), (7)-(9). Разработано компьютерное моделирование аффинных преобразований, что позволяет визуально наблюдать траектории точек при поворотах.
Литература:
1. Делоне Б.Н., Д.А. Райков Аналитическая геометрия, Т.1, М..-Л., ГИТТЛ, 1948 .
2. Совертков П.И. Кадастровая геометрия земельного участка треугольной формы // Математика для школьников, 2025, № 4, с. 22-32.
3. Совертков П.И. Справочник по элементарной математике. СПб.: Лань, 2018.
4. Совертков П.И. Компьютерное моделирование. СПб.: Лань, 2023.
5. Степанова М.А. Барицентрическая система координат. Барицентрическая группа // Современные проблемы математики и математического образования; Герценовские чтения, 77. СПб, 2024, С. 356-360.
6. Cтепанова М.А. Некоторые подгруппы барицентрической группы. // Вестник Сыктывкарского университета, 2025, № 1(54), вып. 25, с. 4-17.
ВОПРОСЫ И КОММЕНТАРИИ
